1. Montrer que $-8$ est un diviseur de $24$.
2. Montrer que $24$ est un multiple de $8$.
3. Soit $n\in\mathbb{Z}$, montrer que $n-1$ est un diviseur de $n^2-1$.
4. Montrer que $1$ et $-1$ divisent tous les entier relatif.
5. Montrer que tout entier relatif divise 0.

Démontrer chacun des points de la propriétés précédente.

Démonter la propriété précédente.

Faire la démonstration de ce théorème.

1. $ a=1776$ par $b=7$
2. $a=1776$ par $b=-7$
3. $a=-1776$ par $b=7$
4. $a=-1776$ par $b=-7$

Démontrer le théorème précédent.

Vrai ou Faux :

1. $24 \equiv 1~[5]$
2. $1 \equiv -1~[2]$
3. $10 \equiv 0~[5]$
4. $9 \equiv 2~[2]$

Démontrer la propriété précédente.

Démontrer le théorème précédent.

Soit $n$ un entier naturel et $A=n(n^2+5)$. Démontrons que $A$ est divisible par 3.

Vrai ou Faux- justifier

1. La somme de deux entiers pairs est un entier pair.
2. Le produit de deux entiers impairs est un entier impair.
3. La somme de deux entiers impairs est un entier impair.
4. Le produit d'un entier pair par un entier impair est un entier pair
5. Le carré d'un entier impair est un entier impair.

Les nombres amis

1. Établir la liste des diviseurs de 30 et calculer leur somme $s$.
2. Établir la liste des diviseurs positifs de 140 et calculer leur somme $t$.
3. Vérifier que $\frac{s}{t}=\frac{30}{140}$.

On dit alors que les entiers 30 et 140 sont amis.

Démontrer que pour tout entier $n$, le nombre $n^3-n$ est un multiple de 6.

On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$. Démontrer l'équivalence suivante : $$7|(2a+5b) \Longleftrightarrow 7|(5a+2b)$$

Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n+8$ soit divisible par $n$.

Les entiers $a$ et $b$ sont tels que : $a|5b+31$ et $a|3b+12$.

1. Montrer que $a|33$.
2. En déduire les valeurs possibles de $a$.

Pour tout entier relatif $n$, on pose : $a_n=2n-1$ et $b_n=9n+4$.

1. Déterminer un entier $k$ indépendants de $n$ tel que : Si $d$ divise $a_n$ et $b_n$, alors $d$ divise $k$.
2. En déduire la liste des diviseurs communs éventuels $a_n$ et $b_n$.
3. En déduire les diviseurs communs à 5117 et 23035. Quel est le PGCD de 5117 et 23035?

on veut déterminer les entiers relatifs $n\ne -2$ tels que $\frac{2n-29}{n+2}$ soit un entier.

1. Montrer que si $n$ est solution alors $n+2$ divise 33.
2. Établir la liste des diviseurs de 33 dans $\mathbb{Z}$.
   En déduire les valeurs possibles de $n$
3. Conclure.

1. Montrer que si un entier naturel $d$ divise $12n+7$ et $3n+1$ alors il divise 3.
2. En déduire que la fraction $\frac{12n+7}{3n+1}$ est irréductible.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n} -1$ est un multiple de $8$.

Vrai ou Faux- Justifier

1. Tout nombre premier est impair.
2. Tout nombre impair est premier.
3. Un nombre premier est un entier ayant exactement 4 diviseurs dans $\mathbb{Z}$.
4. Si 2 divise l'entier $n$, alors $n$ n'est pas premier.
5. Si deux entiers ont les mêmes diviseurs premiers, alors l'un est multiple de l'autre.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.

1. On suppose que $n$ est premier. Justifier que 1 est le seul diviseur de $n$ inférieur ou égal à $\sqrt{n}$?
   En déduire que $n$ n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$
2. Réciproquement, supposons que $n$ n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ et montrons, en raisonnant par l'absurde, que $n$ est premier : on suppose donc que $n$ n'est pas premier.
   L'ensemble des diviseurs de $n$ ( dans $\mathbb{N}$ ) autres que 1 et $n$ étant non vide, il admet un plus petit élément $m$.
   1. Justifier que $m$ est premier.
   2. Justifier qu'il existe un entier $k$ tel que $1<m\leq k<n$ et $n=mk$.
   3. En déduire que $m^2\leq n$. Conclure.
3. Écrire un algorithme qui permet de déterminer si un entier $n$ est premier.

Déterminer la décomposition en facteurs premiers des entiers suivants : $$117 ; 665; 16184; 4554; 19343$$

1. Donner la décomposition en facteurs premiers des entiers 28 et 126.
2. En déduire les décompositions des entiers suivants : $$28^2;28\times 126; 126^3$$

Soit $p$ un nombre premier.

1. Démontrer que, si $p\ne 2$ alors $p^2-1$ est divisible par 4.
2. Démontrer que, si $p\geq 5$ alors $p^2-1$ est divisible par 12. ( on admettra que Parmi 3 entiers consécutifs il y a exactement un multiple de 3)

Vrai ou Faux- Justifier

1. Si le reste de la division euclidienne de $a$ par 70 est égal à 0, alors $a$ est un diviseur de 70.
2. Tout nombre impair est premier.
3. Tout entier relatif peut s'écrire sous la forme de $2k$ ou $2k+1$ où $k$ est un entier relatif quelconque.
4. L'égalité $37=3\times 9 +10$ traduit la division euclidienne de 37 par 3 ou par 9.
5. L'égalité $37=5\times7+2$ traduit la division euclidienne de 37 par 5 ou par 7.

Déterminer le quotient est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

1. $a=351$ ; $b=12$
2. $a=-1001$ et $b=31$
3. $-654$ et $b=-13$
4. $-601$ et $b=12$.

On divise l'entier 256 par $b$, on trouve comme quotient 15 et comme reste $r$.

Quelles sont les valeurs possibles de $b$ et de $r$?

Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne d'un entier naturel impair par 4?

Écrire un algorithme qui prend comme argument $a$ et $b$ entiers naturels et qui renvoie le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

1. Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $a\equiv 3[7]$ et $b\equiv 1[7]$. Démontrer que $2a+b^2$ est un multiple de $7$.
2. Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $a\equiv 2[5]$ et $b\equiv 3[5]$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $a^2+2b^2$ par 5.

Démontrer que $35^{228}+84^{501} \equiv 0[17]$

1. Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{943}$ par 7 ?
2. Quel est le reste de la division euclidienne de $247^{349}$ par 7 ?

1. Quel est le reste de la division euclidienne de $8^{2018}$ par 5 ?
2. Soit $n\in \mathbb{N}$. On pose $a = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$. Démontrer que $a \equiv 0 [7]$.

$n$ désigne un entier naturel.

1. Quels sont les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 11?
2. En déduire que $3^n + 7 \equiv 0 [11]$ si, et seulement si, $n = 5k + 4$ avec $k\in\mathbb{N}$.

$x$ et $y$ sont deux entiers naturels tels que $x \equiv 7 [9]$ et $y\equiv 4[9]$

Déterminer les restes dans la division euclidienne par 9 de :

1. $3x+4y$
2. $x^2+y^2$
3. $2x^2-5y^2$

Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquels l'entier $6^n+4^n$ est divisible par 5.

Un rep-unit (répétition de l'unité) est un entier qui est formé uniquement de 1. Par exemple, le nombre $1111111$.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $1111111$ par 5, par 9 et par 11.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $(1111111)^8$ par 5, par 9 et par 11.

On cherche à résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$3x\equiv 5[7]$$

1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d'un entier $x$ par 7?
2. En déduire les restes possibles de la division euclidienne de la division euclidienne de $3x$ par 7.
3. Quel est l'ensemble solution?

ORésoudre dans $\mathbb{Z}$ $$x^2+2\equiv 0[9]$$

Montrons que l'ensemble des nombre premiers est infini.

Pour cela raisonnons par l'absurde et supposons qu'il y a un nombre fini d'élément.

Notons cet ensemble $P={p_1,...p_n}$ avec $p_i<p_{i+1}$ pour $i\in [| 1;n |]$.

1. Montrer que le nombre $p_1p_2...p_n+1$ est un nombre premier.
2. Montrer que $p_1p_2...p_n+1\ne p_i$ pour tout $i\in [| 1;n |]$.
3. Conclure.

1. On considère la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0=13$ et de raison $q=5$.
   Pour tout entier naturel $n$, déterminer le reste de la division euclidienne $v_n$ par 4.
2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=14$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=5u_n-6$.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}\equiv u_n[4]$$
2. Démonter que, pour tout entier naturel $n$ : $$2u_n=5^{n+2}+3$$
3. Déduire de la question précédente qu'aucun terme de cette suite n'est divisible par 3.

Critère de divisibilité par 11.

Partie A

1. Vérifier que les nombres $34+43$, $57+75$, $93+39$ sont divisibles par 11.
2. On suppose que l'écriture décimale d'un entier $x$ est $\overline{ab}$ avec $a\ne 0$, c'est à dire $x=10a+b$.
   On note$y$ l'entier obtenu en intervertissant les chiffres de $x$.
   Démontrer que $x+y$ est divisible par 11.
3. Un entier $x$ comportant quatre chiffres s'écrit dans le système décimal $\overline{abcd}$ avec $a\ne 0$.
   En utilisant les congruences modulo $11$, démontrer que $x\equiv 0[11]$ si, et seulement si $-a+b-c+d\equiv 0[11]$.
4. En déduire que les entiers de quatre chiffres dont l'écriture décimale est de la forme $\overline{abba}$ avec $a\ne0$ sont divisibles par 11.

Partie B

On considère un entier a définie par dont écriture décimale $a=\overline{a_na_{n-1}...a_0}$ avec $a_n\ne 0$: $$a=a_n\times10^n+a_{n-1}\times 10^{n-1}+...+a_1\times 10+a_0$$ On dira que le rang du chiffre $a_k$ est égal à $k$.

1. Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si, et seulement si, la somme de ses chiffres pair diminuée par la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
2. L'entier $15 374 876 926 816$ est-il divisible par 11?

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0=1$, $y_0=8$ et :

$$\left \{ \begin{array}{l} x_{n+1} = \frac73x_n+\frac13y_n+1 \\ y_{n+1} = \frac{20}3x_n+\frac83y_n+5 \\ \end{array} \right. $$ $,n\in \mathbb{N}$

1. Montrer par récurrence que, dans un repère du plan, les points de coordonnées $(x_n;y_n)$ sont dur la droite dont une équation est $5x-y+3=0$. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x_{n+1}=4x_n+2$.
2. 1. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $x_n$ est un entier naturel.
   2. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $y_n$ est un entier naturel.
3. 1. Montrer que $x_n$ est divisible par 3 si, et seulement si, $y_n$ est divisible par 3.
   2. Montrer que si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3 alors ils n'ont pas de facteur premier commun dans leur décomposition en produit de facteurs premiers.
4. 1. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$x_n=\frac13(4^n\times5-2).$$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $4^n\times 5 -2$ est un multiple de 3.

Les nombres de Mersenne.

Pour $n$ entier naturel non nul, on note $M_n$ l'entier $M_n=2^n-1$.

1. Pour $1\leq n\leq 15$, quels sont les nombres $M_n$ premiers?
2. 1. Soit $k$ un entier naturel non nul et $a$ entier quelconque. Montrer que $a-1$ divise $a^k-1$. ( utiliser un résultat sur les suites géométriques)
   2. En déduire que, si $d$ divise $n$, alors $2^d-1$ divise $M_n$.
3. Déduire de la question 2 que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier. La réciproque est-elle vraie?

Racine carrées et irrationnels

On considère un entier $n$ qui n'est pas un carré parfait (c'est à dire qui n'est pas le carré d'un autre entier).

1. Justifier que dans la décomposition de $n$ en produit de facteur premiers il existe un ombre premier $p$ dont l'exposant est impair.
2. On suppose que $\sqrt{n}$ est rationnel , c'est à dire qu'il existe des entiers naturels $a$ et $b$ avec $b\ne 0$ tels que $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$, on suppose également que cette fraction est irréductible.
1. Quelle est la parité de l'exposant de $p$ dans la décomposition de $nb^2$
2. Quelle est la parité de tous les exposants dans la décomposition de $a^2$?
3. Que dire alors de l'égalité $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$?
3. Conclure.